凯利公式期货（凯利公式期货资金管理）

21点与凯利公式（期望和概率）

这几天看完一本讲赌局的书《迷失的天才》。这是一个发生在美国的真实故事，说的是一位天才的数学教授在大学生中网罗了一批数学天才，关起门来训练他们玩21点。然后指挥他们转战各个赌场，通过相互间的配合，赢了很多钱，最终又成为各大赌场的黑名单中人与追杀对象，后来这本书被拍成电影《决胜21点》，推荐您看一下。

21点的游戏规则是，大家围桌而坐，由专人依次发牌，每个人都可根据自己手中的牌点，决定继续要还是不要。大家都停止要牌后，就摊牌比大小。在21点范围内，谁大谁就赢，超过21点就算爆掉，为无条件输家。所有的闲家都可根据自己的意愿停止要牌，只有庄家的牌点必须大于16点。在这样的规则下，剩下的牌中，大点子牌越多，庄家爆掉的可能性越大。因此，这群数学天才们将7计为0点；小于7的牌算作小牌，计为 -1；大于7的算作大牌，计为 1。赌场玩21点一般都以3副牌为一局，3副牌中，小于和大于7的牌都为72张。3副牌共152张，玩到一半时，剩下几十张牌中，大点子牌占大多数时，庄家爆掉的可能性就会迅速上升。

因此，他们总是几人一组装作谁都不认识谁，进入赌场，由其中的一位先在某一张牌桌上以很小的赌注玩。他的任务是计算剩下的牌中正数与负数的比例。一旦达到理想比例，就发出一个暗号，然后离开牌桌，将座位让给某一个闻讯前来的同伴。

21点本质上是一个随机游戏，每个人的输赢概率理论上均为50%，但由于当牌点一样大时算庄家赢，因此，庄家实际赢率为51%。

但是，通过上述方式，这帮数学天才可使自己的赢率超过52%。新来的同伴只要在概率更高时加大下注金额，理论上就能赢钱。况且新来的同伴还会根据手中的牌点大小，成倍提高或适当减少下注金额，进一步提高赢的概率。就用这种 *** ，这群数学天才几乎横扫了拉斯维加斯的所有赌场，为自己赢得了相当可观的财富。

在这场游戏中，最难的是在大家将牌摊开的一瞬间，你能快速而准确地记住已出现过的大牌与小牌数量、计算出这一局还剩多少张牌、大牌与小牌的比例，而且要不动声色，不能让人察觉你在观察其他人摊开来的牌。这需要很高的数学天分。至于玩的 *** 则非常简单，说到底就是一个输赢概率和下注数量：赢的概率越高，下注的数额越大。

如果把下注金额看作股票仓位，那么在上述例子中，这群数学天才赢就赢在仓位管理上。在一局牌刚开始时，由于闲家赢的概率宏观上不到49%，因此他们只是以小小的注额试水，也就是以轻仓为主。偶尔拿到一手好牌，比如牌点非常接近于21点时，才稍稍下大一点的注，把仓位提高一点。当剩下的牌局明显地有利于闲家时，就以重仓为主。当宏观上赢面居大，微观上又拿了一手好牌时，就把仓位提高到更大限度。

运营一个赌场，要考虑的是长期的赢利，而非短期的成败。根本不用在意输钱，甚至不该害怕连续的输，因为那是的必要成本。还记得该守不守的 “结果偏好” 吗？对结果不满意？要修改规则？种人开不了赌场。

开赌场，不看结果看胜率（expectation）。大可不用管这次能不能赚，只管大家是不是一直赌下去，有没有赢利的可能。只要有50.001%的胜算，就够了，这多出来的0.001%，就要靠“一直做”来变现，放到足够多的交易中，放到足够长的时间里，就能变成一个天文数字。至于短期的损失，只会吸引更多的赌徒参与赌局，只会使赌局延续更长时间，只会让我们最终的收益更大。同样，交易中的亏损并不意味着真的损失，他是诱饵，是必要的成本，是长期的收益。

交易系统中的胜算，叫做期望收益。历史表现是推测未来期望收益的依据。计算过程有三步：之一，这个系统最初设定的买入价（entry price）和止损退出价（stop loss price）之差是多少。

第二，在最初的价格设定下，最终的交易量是多少，最后得到的收益是多少。

第三，算一算风险投入（risk），用买入价与止损价的差额，乘以最终的交易量。

第四，得到历史胜算，也就是未来的期望收益（expectation），用最终收益，除以风险投入。优秀的仓位管理技巧都来自赌场经验。在这方面最为著名的是 凯利公式：

其中，F = 投注金额占总资金的比例；

p = 获胜的概率；

q = 失败的概率，即 q = 1-p；

b = 赔率，例如在轮盘中押单个数字，b = 35，押红黑，b = 1。

假设总赌本1万元，玩家取胜的概率是51%，赔率1：1，那么凯利公式给出的更佳赌注是：

10000 * (1 * 0.51 - 0.49)/ 1 = 200（元）

公式中分子的b*p - q；代表“赢面”，数学中叫“期望值”(expectation)，凯利公式指出：正期望值的游戏才可以下注，这是一切赌戏和投资最基本的道理，也就是前面讲的“没有把握，决不下注”。赢面还要除以“b”才是投注资金比例。 也就是说赢面相同的情况下，赔率越小越可以多押注。比如出现了三种情况：

a.“小博大”：胜率20%，赔率是5，输了全光。 b*p - q = 5*20% -80% = 20%

b.“中博中”：胜率60%，1赔1。b*p - q = 1*60% - 40% = 20%

c.“大博小”：胜率80%，1赔0.5。b*p - q = 0.5*80% - 20% = 20%

三个游戏的数学期望值一样，都是20%，或者说押100元平均赢20元。按大部分国人的赌性，恐怕会选“小博大”游戏吧？但是用凯利公式中的 “b” 一除，“小博大”游戏只能押总资金的4%，“中博中”可以押20%，“大博小”可以押40%。

赢钱速度“大博小”快多了！ 前面不是讲过“久赌必赢的游戏应该选波动性小的”吗？ 说的就是这个了。现实中，爱玩“小博大”的多半是赌客。 谁爱玩“大博小”呢？ 赌场！ 华尔街的职业投资家们很多玩的也是“大博小”，因为便于使用杠杆（押大赌注）。关于这点后面还要详细讲。

最后，凯利公式指明了风险控制的至关重要性：即便是正期望值的游戏也不能押太大的赌注。从数学上讲，押注资金比例超过了凯利值，长期的赢钱速度反而下降，还会大大增加出现灾难性损失的可能性。举个极端的例子，如果你每手都押上全部资金，那么不管你赢过多少钱，只要输一次就立刻破产。正所谓：辛辛苦苦几十年，一夜回到解放前。 为什么投资界赔到倾家荡产的尽是一些局部技术不错的老手呢？ 原因多半在“赌注太大”。上世纪初有位大宗师级别的投机客一世英名就毁在了这上面。

在2016年有个很火的 “投资产品” 叫做二元期权，实际是一个用期权的规则赌大小的线上赌场，注意，这些线上平台都是违法的，首先资金安全就无法得到保障，赚到钱的投资者无法提现也无处投诉。

二元期权的交易模式是，先选取预测标的，可以是股票、期货、贵金属、外汇或者他自己的产品，在该平台指定时间内交易，投资者永远不需要实质拥有资产，只需要预测资产的走向，价格并不重要，重要的是方向是否能猜正确。就是说你可以预测1分钟、5分钟、15分钟、1小时以后该标的价格的涨跌，用100元作为赌注，预测正确拿到83块，预测错误，损失本金100块。1分钟是最短的二元期权交易模式。

这里的猫腻出在哪儿呢，赔率不对等的情况下，要达到正期望值，要做到多少胜率呢？这就要详细讲一下期望值的意思。

换句话说，期望值是在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。再通俗点讲， 就是我预期的获利扣掉我预期的亏损的值，如果计算出来的期望值是正的就代表我能够长期获利，相反的如果扣出来的值是负的，那我就会长期亏损。

可能还是不好理解，咱们来举个例子说说就很清楚了。

比如赌场押骰子，一般都是三颗骰子，点数加起来小于等于10，就算小，大于等于11，就算大。然后让玩家自己选择押大还是押小。

好，请回答一个问题，你认为在这个押大小的游戏中，玩家和赌场的胜率是否都是50%？

我相信绝大多数的人会说是！

在这样的情况下，的确是，但这个押大小的游戏一般还有一个条件，如果三个骰子出现的点数一样，比如三个1、三个2等，俗称豹子，这时候就是庄家通杀，算庄家赢。

猫腻就在这儿了，很多人会说，这才多大点概率。的确，这个概率很小，才2.77%。但正是因为这个2.77%的概率存在，让赌场和玩家之间的胜率变成了玩家48.61%，赌场51.39%。可别小看这点差异，接下来我们就来看看期望值是如何计算的。

假设每次玩家押100元，玩家的预期获利就是 100 x 48.61%，预期亏损则是 100 x 51.39%，也就是说在押大小这个游戏玩家的期望值计算方式如下：

押大小期望值：100 x 48.61% - 100 x 51.39% = -2.78

这代表什么意思呢？ 就是说每当玩家投注100元在押大小这个游戏上时，平均会损失2.78元 ，虽然短期内可能连续获利或连续亏损，但只要押注的次数越多，时间长了就会非常趋近这个数字。

比如说玩家玩了1000次押大小，一次平均亏损2.78元，1000次后结果就会非常接近亏损2780元！不信？你可以自己在家中试验下。

解释完这个例子，我想你也肯定已经知道了，为什么十赌九输，为什么赌场根本就不用出千耍花样照样能赚钱。因为这在游戏规则上，靠着期望值和大数法则，就已经让庄家稳赚不赔。

咱们言归正传，说押大小的例子， 在咱们二元期权中，又该如何计算看待这个期望值。 咱们再来举个例子，假设小明是个二元期权交易者，他每次都投资100元，他赌赢的概率 大概在50%（抛硬币的概率） ，小明的赔率为83%，二元期权交易 期望值 如下：

二元期权期望值：83 * 50% - 100 * 50% = -8.5

也就是说以小明平均50%的做单胜率，每次投资100元在二元期权时，平均亏损8.5元。

假设小明一天下了十次单，那他当天的亏损将会趋近于85元。因为概率的随机性，也有可能小明会连续好几天是盈利的，但 长期下来小明在二元期权交易中必然是亏损的。

我们用已知的赔率反推概率，又是什么情况？假设，小明的二元期权交易期望值为零，也就是盈亏平衡状态：

二元期权期望值：83 * x - 100 *（1 - x）=0

直接告诉大家， 54.6% 。只要你的做单胜率长期维持在54.6%以上，就能持续盈利。二元期权交易平台比赌场要狠多了。

所以，别以为自己运气有多好，先静下心来好好统计下自己的做单胜率到底是多少。富人和穷人思维的本质区别是富人思维懂得用概率思维来解题，而穷人不断的缴纳 智商税， 所有智力竞技游戏的核心都是概率。

凯利公式的理解和运用

1、凯利公式的之一目的是控制破产风险，次之才是提高你的资产增长率。2、应用于期货等金融衍生品市场时，需要根据自己的策略做系数修正，特别是修正投注比例（因为金融衍生品市场中价格的影响因素较多，同时也会受到策略和心态的交叉影响）。

在概率论中，凯利公式（也称“凯利方程式”）是一个在期望净收益为正的独立重复赌局中，使本金的长期增长率更大化的投注策略。该公式于1956年由约翰·拉里·凯利（JohnLarryKelly）在《贝尔系统技术期刊》中发表，可以用来计算每次游戏中应投注的资金比例。

凯利公式是大学才学吗

是

投资中最重要的公式之——凯利公式

书生413

醉舞经阁半卷书, 坐井说天阔

来自专栏股市那些事儿

什么是凯利公式呢？

凯利公式是一个独立重复赌局中，使本金的长期增长率最快的的投注策略。“独立重复”强调每次下注之间的独立不相关，“长期”强调排除偶然因素而站在概率的角度上看。

凯利公式的内容是什么呢？

假设你做一次投资，且你赢的概率为 P，输的概率为（1-P），赢时盈利百分比a,输时亏损百分比b，则那么每次更优的投资仓位C为：

那么这个公式的是否正确呢？

我们用上快要遗忘的数学知识来做一个证明：

假如投资了N次，每次仓位百分比h，盈利了M次，亏损了N-M次，初始资金为Z0，则N次投资后总资产Zn为：

这个公式一看就头晕对吧？那么我们把它美化（两边同时取对数）一下，就变为：

根据高中数学解题经验，进一步变形，反正就是玩儿：

然后根据大学高数的求极限知识，当N 趋于无穷，M/n = P，(N-M)/n = (1-P)，所以上面式子变为：

再用上大学高数的导数知识，上面这个函数对h的二阶导数小于0（这个读者自行证明了，正好巩固一下自己所学的数学知识），那么可在它一阶导数等于0时，可取得更大值。它的一阶导数为：

接着，就令其等于0，既有：

最后用上初中知识一顿化简后：

证必！

显然公式 P*a - (1-P)*b为期望E。

令 b为1，即是说亏光本金，那么有：

简单说：只要有亏光资金的概率（1-P）存在，则不管a（盈利）有多大，都不要投入比例超过P的资金。也即是说，只要亏光的概率不是0，就一定不要满仓；只要亏光的概率达0.5，就一定不要超过半仓——哪怕有10倍、20倍利润的可能。此结论对期货、期权、配股权证、放贷等投资特别有意义。许多人在期货、期权、外汇等交易中损失巨大，或者玩不了多久就赔光出场，原因就在于他们受到可能的高额利润诱惑，持仓比例往往过大[1]。

如何使用凯利公式管理仓位？

一、凯利公式

凯利公式由John L.Kelly.Jr于1956年发表在《贝尔系统技术期刊》上，用于计算特定赌局中的下注比例，以使用户的资金增长率达到更大化。

凯利公式有几个特点

1、凯利公式必须是建立在多次重复，大数满足的前提下

2、成功率是固定的

3、盈利数是固定的

凯利公式的原始表达式如下：

(2) 毛赔率

毛赔率指包含本金的赔率。比如单次下注1元，赌输时损失1元，赌赢时获得3元(包含下注的1元)。

则本次赌局的毛赔率为3:1，净赔率为2:1，净利润为2元。

(3) 应用举例

假设有一场赌局，每次下注的胜率为60%，赌输时损失全部下注金额，赌赢时可获得3倍的下注金额(含下注金额)。

请问每次应下注多大金额，才能使资金的增值速度最快？

在这场赌局中，胜率 p=60% ，毛赔率 k=3 ，代入凯利公式计算，可求得更佳下注比例：f* = 40%

即每次拿剩余资金的40%下注，可使资金的增值速度最快。

(1) 凯利变形式

由上述分析可知 净赔率 = 毛赔率 - 1 ，现设赌局的净赔率为 b ，则 b=k-1 ；

设赌局输掉的概率为： 1-p 。

将以上变形式代入 f* = (kp-1) / (k-1)，化简得到凯利公式的等价式如下：

(2) 应用举例

期货市场为例，有一个投资机会，盈利的概率为p=30%，b=3，我们应该拿多少资金来建仓呢？

f1 =6.7%

有一个投资机会，盈利的概率为p=70%，b=5，我们应该拿多少资金来建仓呢？

f2 =64%

假设有一个投资机会，止盈(Win)W=10%，上损(Loss)L=20%，盈利的概率为p=70%，我们应该拿多少资金来建仓呢？

在这笔投资中，胜率 p=70% ，净赔率 b=0.5 (b=W/L)，代入公式 f =(bp-q)/b 计算：f3 =10%

(3) 仓位计算公式

凯利公式的本质是对风险的管理， f=10% *表示我们应该用剩余资金的10%去冒险，即止损金额应为剩余资金的10%。

根据公式 冒险资金 = 仓位 * 止损百分比 可知：

仓位 = 冒险资金 / 止损百分比

因此，这笔投资我们的仓位应为：M=f*/L=50%

我们将 b=W/L 代入仓位计算公式：M=f*/L，化简后如下：

代入公式验证一下，结果仍然是 50% 。

(4) 凯利公式与杠杆

由于凯利公式计算的是冒险资金的比例，因此，在盈利期望值较大或止损百分比较小的情况下，可以会出现仓位大于100%的情况。

举例：现有一个投资机会，胜率为60%，止损为10%，止盈为10%。

代入公式 (pW-qL)/WL计算，得到更佳仓位M=200%。

根据凯利公式计算，这笔投资应该使用剩余资金的20%冒险，但由于止损百分比为10%，所以仓位应为200%。

理论上，可以借钱建仓或使用杠杆。

温馨提示：珍爱生命，远离杠杆！

二、实施难点：

1、很难做到每次投资成功率固定。

因为任何投资都有一定的风险，我们甚至连去 做这件事一开始的成功率是多少都不懂，更无法去固定成功率了。比如你今天吃饭噎死的概率是多少，你能知道吗？那你去买股票或者买期货，这次下单成功盈利的概率是多少你能保证吗？当然是很难的，我们就算用历史数据做出一个概率分布，做出统计，但是那并不是固定的成功率，那只是在一个置信区间下的成功概率，他一样不是100%固定的，而凯利公式却是百分百固定的。

2、很难做到每次盈利数固定。 有些人说，我每次设置一个止盈不可以吗？比如我就设置一个10个点就止盈，反正每次盈利最多就是10个点，但是你能保证你每次都能赢到吗？假如你浮亏了呢？你确定你有足够大量的资金可以扛住单子吗？所以你的盈利数也是不确定的，甚至你设置了一个止盈以后，行情直接反向飞奔，你拦都拦不住，结果你直接被打爆仓，当然如果你是买股票的话，那就是万一你在中石油的更高点买入，结果现在依旧当股东，或者你是买其他股票，直接被退市了。所以没有办法保证每次盈利数都是固定的。

3、更难做到说你可以多次重复的大数满足。 因为你连盈利都无法保证，那么你想多次重复大数满足是很难的，那些可以在股票期货市场一直活着，活几十年的人，为什么觉得他们厉害，是因为他们满足了大数，所以他们厉害。可以在大数之下还没被淘汰，自然有可圈可点的地方，可是就好像做期货，很多投资者过来，3个月就死翘翘了，能有几个可以活几十年，而股票方面，多数人也无非是当股东，能在股票市场长存的又何其少。所以要满足大数，那这句话翻译一下，就是你得一直活在这个市场，别被淘汰哦。

三、结论：

1 期望值为正时，凯利公式是在赌徒免于破产的情况下，最快速增加资产的仓位控制；（我理解为低位重仓）

2 期望值为零与负时，停止下注；（我理解期望值为零即为价值中枢）

3 相同期望值时，提高系统的胜率可以提高更大仓位，提高资产增长率；（仓位的控制重要）

4 凯利公式应用于股票和期货市场时，由于市场状态的不同，而不能使用过于激进的凯利公式计算仓位；（理论的局限性风险）

5 通过改进或者降低凯利公式，将其应用于股票和期货市场。（模型优化）

拓展阅读

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END.

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