分形模型期货（期货分析模型）

多重分形模型

当今分形理论的主旋律是多重分形（Multi-fractals），因为简单分形只用一个维数来描述其整体的特征，不能完整地刻画大自然的复杂性和多样性.对于许多复杂的现象，它们包含多个层次，每个层次具有不同的统计特征.比如，对湍流、混沌和分形生长类型的非均匀复杂几何体，必须用多个维数来描述，才能全面刻画其特征.多重分形就是针对这类情况而提出的新概念.

多重分形也称为分形测度.它是研究一种物理量在一个支撑（support）上的分布状况，换句话说，多重分形理论是定义在分形上的多个标度指数的奇异测度所组成的无限 *** .多重分形理论定量刻画了分形测度在支撑上的分布状况.

3.5.1 矿床分布模型

Mandelbort认为：“高品位的铜矿的分布是不均匀的，主要集中在世界少数地区.如果进一步考察其中一个地区铜矿的分布，就会发现其分布仍然是不均匀的，主要集中在少数几个子区域之中.从统计意义来说，可以认为：在每一储铜区，无论其区域大小，高品位的铜矿的相对分布都是相同的.”我们现在设想一个矿床分布模型（图3.8）.为了讨论方便，只限于一维的模型.假定有一单位长度的线性地区.之一步，将线性区分成三段，每段长1/3.两端的两段，矿产密度（聚集概率）是P1，中间一段为P2，且P2＞P1（2P1+P2=1），显然，矿物向中间富集［见图3.8（a）］.第二步，在0～1/3，1/3～2/3，2/3～1的三段地区再一次重复上述富集过程，9个子段的矿物浓度为，矿物的富集进一步集中在更少数地区[见图3.8（b）].重复上述富集过程无穷次，富集作用完成，矿产分布形成.图3.8（c）表示第三步（k=3）的结果，图3.8（d）给出无穷步以后的情况.从上面的例子我们可以看出，最终形成的矿产是分形的，但十分复杂.为了完整地描述它，仅用单一一个分维数是不够的，需要多个（甚至无穷多个）参量才能描述它.

从以上模型可以看出：①成矿作用具有相似性，无论哪个地段的成矿作用过程都是相似的，这就造成矿床及元素的空间分布服从分形关系；②成矿富集过程，即地质作用的多次迭加，类似于数学的多次迭加；③该模型可以用于解释一个问题，“地质条件相似，勘查程度相等的地区，产出的矿床储量多少相差极为悬殊”.

图3-8 成矿模型示意图

3.5.2 多重分形模型

我们把研究对象划分为N个不同的区域Si（i=1，2，…，N）.设ri为第i个区域Si线度大小，Pi为该区域Si的测度（例如概率），不同的区域Si，Pi也不同，可用不同的标度指数αi来表征.

分形混沌与矿产预测

若线度大小趋于零，则上式化为：

分形混沌与矿产预测

其中αi是分形体某小区域的分维数，称为局部分维或标定指数，一般因区域而异，其值大小反映了该区域生成概率的大小.

在αi中，有相同α值的区域数目Ni（r）也与区域大小ri有关，即：

分形混沌与矿产预测

其中f（α）表示α在总的分布中所占的分量，它是α的连续函数，正是它构成了多重分形谱，即f（α）谱.f（α）的物理意义是具有相同α值的子集的分维数.一个复杂的分形体，它的内部可分为一系列不同α值（Pi值）所表示的子集.这样f（α）就给出了这一系列子集的分形特征.

可以证明，f（α）是α的凸函数，即f（α）曲线是一条凸曲线，其峰值f（α）=D0，即相似维或容量维.f（α）=α处的值即是信息维数D1.

多重分形用α表示分形体小区域的分维数，因为小区域数目很大，于是可得一个由不同α所组成的无穷序列构成的谱并用f（α）表示.f（α）和α是描述多重分形的一套参量.

我们从信息论角度也可以选另一套描述多重分形的参量q和Dq.当r→0时，我们可得：

分形混沌与矿产预测

其中称为q次概率矩，Dq称为q次广义分维数（或q次信息维），q是表征多重分形不均匀程度的量，C＞0称为比例常数，τ（q）=（q-1）Dq是q的函数，∑Pi=1.（3.5.4）式称为多重分形模型.通过Legender变换可得（具体论述见文献陈禺页，陈凌.分形几何学，1998年，p.127）：

分形混沌与矿产预测

从上式可以看出，若有二个区域m和j的概率分别是Pm和Pj，且Pm≫Pj.当q≫1时，在∑求和中显然是起主要作用，这时的Iq（r）和Dq主要反映的是概率高（或稠密的）区域的性质.在q→∞极限条件下，可以只考虑Pmax而忽略其他的小概率，这样就大大简化了Iq（r）的计算.反之，当q≪1时，Iq（r）和Dq主要反映的是分布中概率比较小（或稀疏的）区域的性质.多重分形是一个由有限几种或大量具有不同分形行为的子 *** 叠加而组成的非均匀分维分布的奇异 *** ，因此，多重分形概念是原始分形概念对于非均匀分形的自然推广.利用多重分形这个概念，使我们能分层次地了解分形内部的精细结构.

将式（3.5.1）和（3.5.3）代入（3.5.4），可得：

分形混沌与矿产预测

由于r很小，则在求和时，Iq（r）仅当αq-f（α）取极小值时贡献更大，由于α随q不同而变化，故极小值条件为：

即，此式说明f（α）的斜率数值就是q阶矩的阶数.

即，此式说明f（α）是一个上凸曲线.

由上面二式可以求出当αq-f（α）取极小值时α的值α*（q）来.这时Iq（r）可以写成：

分形混沌与矿产预测

代入（3.5.4），可得：

分形混沌与矿产预测

式（3.5.9）表明，如果知道α和它的谱f（α），就可以求出Dq来.反之，如果知道了Dq，我们也可以求出α来.将式（3.5.9）对q求微商，可得：

分形混沌与矿产预测

上述关系式（3.5.1）～（3.5.10）构成了多重分形的理论核心，不论用α，f（α）或q，Dq作为独立参数都可以描述多重分形内部结构，可根据实际情况决定用哪一组参数（表3-7）.

这两套参量之间的关系为：Dq=（1/（1-q））［qα-f（α）］或f（α）=qα-τ（q）

其中

分形混沌与矿产预测

表3-7 τ（q），α（q），f（α（q）），Dq在q=0，1，±∞处的值

定理：q次广义分维数Dq满足下列不等式：

分形混沌与矿产预测

证明：由不等式（简明数学手册，上海教育出版社，1978）

分形混沌与矿产预测

上式等号成立当且仅当所有的αi都相等.

分形混沌与矿产预测

即 Dq′≥Dq当q＞q′时

证毕

根据定理的结论，可推知：

D0（相似维）≥D1（信息维）≥D2（关联维）

注意：上面的定理成立是有条件的，即：∑Pi=1并且当r充分小时.但是在用线性回归 *** 处理实际数据并计算出广义分维数的Dq（即线性回归方程的斜率），不一定都符合该不等式 Dq≤Dq′（当q＞q′时）.这是因为用统计上的线性回归 *** 得出的结果是整体上的结果（取决于所有的数据），它与用取极限 *** 得出的结果是不一样的（参见下面的模拟研究结果）.

3.5.3 多重分形模型模拟研究

我们在计算机上产生了［0，1］区间上的均匀分布，标准正态分布和对数正态分布的随机数各10000个，将每种分布的随机数分成10组（即每组1000个随机数，共有30组），用于多重分形模型的模拟研究.

将每组1000个随机数，按从小到大的次序排列，并把随机数分布的总区间分成r个子区间，计算进入第i个子区间内的随机数的频率Pi（i=1，2，…，r），令，其中r为正整数.

这样得到了数据（Iq（r1），Iq（r2），…，Iq（rn））和（r1，r2，…，rn），将这些数据代入（3.5.4）式中，然后两边取对数，即（3.5.4）式化为一元线性回归模型，应用最小二乘法求出斜率的估计量，即q次广义分维数.

具体计算结果见表3-8（图3-9），表3-9（图3-10）和表3-10（图3-11）.

表3-8 均匀分布的

表3-9 正态分布的

表3-10 对数正态分布的

说明：（1）表3-8，表3-9和表3-10中的为相应分布的10组q次广义分维数的平均值.

（2）对于均匀分布，正态分布和对数正态分布的随机数，取n=26，ri=3+2i（i=1，2，…，26）.主要依据数据（Iq（r1），Iq（r2），…，Iq（rn））和（r1，r2，…，rn）在此范围内（q≥0），存在无标度区和统计上的要求.

（3）随机数抽取样本1000个，符合统计推断的要求条件.

（4）当q→1时，广义分维数就是信息维数D1.

为了说明q次广义分维数D^q的意义，我们引入广义熵Kq（r）（Renyi熵）（q=0，1，…）

分形混沌与矿产预测

图3-9 均匀分布的拟合图

熵是衡量随机现象的不肯定性程度的一个度量.不肯定性程度（随机现象的分布均匀程度）越高，熵值越大.根据（3.5.5）式和（3.5.11）式，我们可推知广义分维数与广义熵Kq成正比.广义分维数可以表征随机数或样本之间的结构性越大，表示随机数或样本均匀程度好；反之，值越小表示随机数或样本均匀程度差.由表3-8，表3-9和表3-10中数据可推知：均匀分布（均匀程度好）的随机数广义分维数＞正态分布（均匀程度居中）的随机数广义分维数＞对数正态分布（均匀程度差）的随机数广义分维数（q≥0）.以上结论与实际情况符合.广义分维数是研究不均匀程度、复杂程度、粗糙程度和不规则程度的度量.

（注：此节的分维数大小比较与3.3.2节的结果不一致，这是因为它们的各自分维数所对应的模型不一致，从而导出的结论也不一致，因此，分维数大小的比较，一定要在相同模型和条件下进行，否则比较是无意义的.）

图3-10 正态分布的拟合图

图3-11 对数正态分布的拟合图

3.5.4 应用实例

某省地矿局物探大队在某金矿田近400km2范围内开展了1∶5万水系沉积物地球化学元素测量，共得到Au和Ag数据各405个（共有810个）.

将上述金的数据以1km2为单元进行网格化，应用网格化数据绘制金地球化学异常图3-14.该图表明：①金异常在空间分布上与正长斑岩体具有一致性，这表明整个正长斑岩体可能是一个富金岩体.②围绕正长斑岩体和闪长玢岩体发育环形金异常，正长斑岩体北侧发育区域性线形金异常.③该金矿位于环形金异常与线形金异常的交汇域.环形与线形金异常的叠加表明该类金矿床的岩控，裂控的双重控矿性质.④岩体内外金高浓度带分布具有了一定的方向性，构成了一系列北西带和北东带.

通过因子分析确定了四类元素组合，其中一类组合为Au-Ag-Hg.Au-Ag-Hg正因子计量等值线（图3-15）在岩体上形成两个北东带，在岩体北东侧形成区域性北西带，它代表了低温金组合异常的分布.

（1）将原始数据进行标准化变换.

变换公式：

分形混沌与矿产预测

其中xi（i=1，2，…，N）为原始数据（Au和Ag元素）.

分形混沌与矿产预测

变换后的数据的平均数为0，方差为1.且各元素数据的量纲一致，且两元素数据在标准化变换前后的相关程度不变.

（2）将标准化变换后的各元素数据，按从小到大的次序排列，并把该元素数据分布的总区间分成r个子区间，计算进入第i个子区间内的随机数的频率Pi（i=1，2，…，r），令：

分形混沌与矿产预测

这样得到了数据（Iq（r1），Iq（r2），…，Iq（rn））和（r1，r2，…，rn），然后将该数据绘在双对数坐标系统中（即lnIq（r）—lnr），连接各点，曲线存在明显的直线段，即存在无标度区（q≥0）.

（3）将数据（Iq（r1），Iq（r2），…，Iq（rn））和（r1，r2，…，rn）代入（3.5.4）式中，然后两边取对数，应用最小二乘法求出斜率的估计量，即q次广义分维数.

具体计算结果见表3-11（图3-12）和表3-12（图3-13）.

表3-11 Au数据的

表3-12 Ag数据的

图3-12 Au数据的拟合图

图3-13 Ag数据的拟合图

图3-14 某金矿田Au地球化学异常图

图3-15 某金矿田水系沉积物地球化学因子计量（＞0）图

由表3-11和表3-12中的数据可见：

（1）元素Au和Ag数据分布的均匀程度在正态分布和对数正态分布的均匀程度之间.

（2）元素Au和Ag的广义分维数变化趋势基本一致（q≥1），说明元素Au和Ag数据关系密切.以上结论与实际情况相符合.

金融学前沿课题

我是一个理财师，对于金融方面的知识还是比较了解一些的，而且我自己也是金融学专业的人，我们的金融学，比较前沿的课题有下面几个，希望大家可以参考：

之一、金融模型的研究是一个比较困难的前沿学科，对于经济和金融的数据化分析要求十分的高，特别是金融模型，必须在数学基础上开始建立自己的研究项目，这点要求金融学的人，必须有极高的数学素养。

第二、金融货币推理，这是一种对于货币分析的前沿研究，难度比较大，而且现在的研究范围还比较小，所以要求专业性极强，特别是对于货币知识，要求有一定的专门实际操作的经验，这点来说难度很大。

第三、金融衍生品的学术研究，是金融专业里面实用的专业，也是比较前沿的专业，金融衍生品有很多类型，比如期权期货互换之类，要求研究的人专业性比较强，同时具备一定的实际知识。

第四、金融的资金融通，是一个研究的最前沿，也是现在国际和国内比较关注的一个研究课题，不过这类研究范围很大，几乎涵盖所以的金融转换，所以研究的人必须具备极高的金融学和经济学基础。

第五、金融服务研究，这类研究是最近十几年开始的一个研究课题，主要是对于金融行业继续深化服务品质的一种研究，提高金融效率的一种研究。

上的这些研究的课题，对于金融专业来说，是最前沿的研究项目，其复杂程度很高，所以金融专业的人，要研究这些课题需要付出极大的努力，而且要有一种毅力，我在这方面有一定接触，所以希望开始研究的朋友们，把自己的精力全部的集中起来，这样才可以真正的做好研究工作！

分形统计模型

3.3.1 分形统计模型

设分形统计模型：

分形混沌与矿产预测

其中r表示特征尺度，C＞0称为比例常数，D＞0称为分维数，N（r）表示尺度大于等于r的数目（当分维数D前面的符号取负号，记为N（≥r））或尺度小于等于r的数目（当分维数D前面的符号取正号，记为N（≤r））.

为了研究方便，（3.3.1）式可分解为下面二式：

分形混沌与矿产预测

许多地质现象具有标度不变的特征.如岩石碎片、断层、地震、火山喷发、矿藏和油井等.这些现象的频数和大小之间的分布具有尺度不变性.分形分布的特点要求大于等于或小于等于某一尺度的数目，与物体大小之间存在幂函数关系，即（3.3.1）式的关系.例如r可表示金品位，N（≥r）表示金品位大于等于r的样品数目；r也可表示圆的半径，N（≤r）表示落入半径为r的圆中的矿体个数.

分形分布的特点要求大于某一尺度物体的数目，与物体大小之间存在着幂函数关系，地质现象的统计分布中，幂函数分形分布（即：幂函数分布、帕累托分布和齐波夫分布）不是惟一的一类，还有如对数分布等其他类型.但是幂函数分形分布是其中惟一的一类不含特征尺度的分布.这样，这些分布可以应用于那些具有标度不变性的地质现象.而标度不变性则提供了应用幂函数分形分布的基础.

模型的建立，其实是分形（相似性）模型的建立.利用相似性原理，建立模型单元，对预测单元进行分形处理和预测.

为了求出分维数D，将观测数据（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），绘在双对数坐标纸上，如果其散点大致分布在一条直线上的话，分维数D就可以利用直线的斜率求出，也就是说，将观测数椐（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），代入（3.3.1）式，然后两边取对数，（3.3.1）式化为一元线性回归模型：

分形混沌与矿产预测

用最小二乘法求出斜率D的估计量，即为分维数.目前几乎都用此 *** （传统 *** ）求解分维数D.虽然用该 *** 求出D较简单，但结果可能不正确（Bethea，et al.，1985），应该用非线性回归模型的 *** 去估计参数C和D.

事实上，（3.3.1）式是非线性回归模型，其中C，D为未知参数，用非线性回归模型的中最小二乘法直接求出（3.3.1）式中参数D的估计量也是分维数.用这种新 *** 求出的分维数D比上面传统 *** （即（3.3.1）式转化为一元线性回归模型（3.3.2））求出的分维数更精确（即误差更小）.

新 *** 有以下优点：

（1）使用传统 *** 求分维数D，要对原始数据（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），同时作对数变换，但是在大多数情况下，原始数据特别是（r1，r2，…，rn），不适合作对数变换.新 *** 直接用原始数据求分维数D，因而避免了以上情况出现.

（2）使用新 *** 可以求出分维数估计量的近似偏差和方差，同时也能求出近似预测偏差和预测方差.使用传统 *** 不能得到上述的结果（使用传统 *** 求出（3.3.2）式中D的偏差和方差，同使用新 *** 求出（3.3.1）式中D的偏差和方差有着根本区别）.

（3）使用新 *** 求出的参数估计量比使用传统 *** 求出的参数估计量在拟合分形模型时更好，即剩余平方和更小（剩余平方和是衡量拟合的优良程度的定量指标），并且参数估计量更稳定.

3.3.2 分形统计模型模拟研究

我们在计算机上产生了［0，1］区间上的均匀分布，标准正态分布和对数正态分布的随机数各10 000个，将每种分布的随机数分成10组（即每组1000个随机数，共有30组），用于分形统计模型的模拟研究.

将每组1000个随机数，按从小到大的次序排列，并把随机数分布的总区间分成k个子区间，统计进入第i个子区间内的随机数的频数NFi（i=1，2，…，k），令，其中r为正整数.

这样得到了数据（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），将这些数据代入分形统计模型（3.3.1″），应用最小二乘法，可求出分维数估计量.

具体计算结果见表3-1，表3-2和表3-3.

表3-1 均匀分布分维数估计量D^

表3-2 正态分布分维数估计量D^

表3-3 对数正态分布分维数估计量D^

在表3-1，表3-2，表3-3中：①对于均匀分布的随机数，取k=150，n=26，ri=2i（i=1，2，…，26）；②对于正态分布的随机数，取k=80，n=21，ri=2i+10（i=1，2，…，21）；③对于对数正态分布的随机数，取k=100，n=21，ri=2i（i=1，2，…，21）；④对于不同分布的随机数据，k和r的取值范围也不相同，主要依据数据（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），在此范围内，存在无标度区和统计上的要求；⑤随机数抽取样本1000个，符合统计推断的要求条件.

由表3-1，表3-2和表3-3中的数据可推出以下的结果：

（a）用新 *** 求出分维数估计量比使用传统 *** 求出分维数估计量更趋于稳定.因为标准差是数据分散程度的定量描述，标准差越小，数据越集中于平均数附近.

（b）分维数D值可以表征随机数或样本之间的结构性.根据分形统计模型（3.3.1″）可看出，D值越小表示随机数或样本之间的差异越小，即均匀程度好，反之，D值越大表示随机数或样本之间的差异越大，即均匀程度差.均匀分布（均匀程度好）的随机数分维数（平均值0.1287）小于正态分布（均匀程度居中）的随机数分维数（平均值0.6853）小于对数正态分布（均匀程度差）的随机数分维数（平均值0.9762）.以上结论与实际情况符合.

3.3.3 应用实例

*** 罗布莎铬铁矿成矿预测.

*** 罗布莎铬铁矿矿床是我国目前已知更大的铬铁矿矿床，已探明的铬铁矿石储量近500万t，占全国探明储量的三分之一以上.因而，对 *** 罗布莎铬铁矿矿床进行成矿预测工作具有非常重要的意义.

罗布莎蛇绿岩体地处著名的雅鲁藏布江蛇绿岩带的东段，位于冈底斯火山-岩浆弧的南侧，岩体呈向北凸出的弧形展布于晚三叠世巨厚的浅变质砂板岩夹少量结晶灰岩和细碧角斑岩的复理石建造与晚白垩世海相火山岩、放射虫硅质岩以及第三系山间磨拉石建造之间，岩体平面形态似透镜状，局部被断层错开，主体呈东西向延伸，长约30km，最宽处约3km（李紫金等，1993）.

通过对该矿床的研究，认为地表矿体、矿群、矿床储量的空间分布具有较好的分形结构特征即自相似性，可用分形统计（3.3.1′）模型作为第四系覆盖区下找矿远景地段矿体、矿群及其资源量的预测模型.

1.地质条件

研究表明，尽管罗布莎矿段与香嘎山矿段矿体出露的标高及在地幔橄榄岩中的位置略有不同、岩石矿石化学成分及物性表现上有所差异，但它们均处于同一地幔橄榄岩内，属于同一成岩成矿作用的产物，原始的构造含矿杂岩带统一，经构造解析，认为全区的矿体在同一构造含矿杂岩带内.因而，将模型区扩大到整个两矿段地区，在地质上是可行的.

2.数学条件

罗布莎铬铁矿矿床自相似性体系的矿床诸参数表现出自相似性，将观测数据（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），绘在双对数坐标系统中（即lgN（r）—lgr），连接各点，曲线存在明显的直线段，即存在无标度区.自相似性是事物在一定尺度范围（无标度区）内不随观察尺度变化的性质，无标度区一部分所得到的结论可以外推到整个无标度区.模型区地表矿体、矿群及其储量的空间分布在5～40cm的范围（无标度区）内具较好的分形结构即自相似性.因此，在矿床自相似性体系内，可以将该无标度区的上限外推至55cm，此时分形结构不发生改变或改变不大.

3.模型区与预测区的相似类比

预测的矿体及矿群是第四系覆盖区下基岩表层的矿体及矿群，预测的资源量是与模型区C+D级储量对应的矿量.第四系的研究表明，预测区的第四系为残坡积物及少量的冰碛物，所以认为模型区与预测区地表风化剥蚀状况及矿体的保存条件近于相似，模型可以外推.

4.资料来源及参数估计

（1）地表矿体

模型区内，在1∶10000地形地质图上标出的分布于构造含矿杂岩带内的地表矿体共152个（见图3-1和图3-2），把每个矿体看成是以其中心为代表的一个点（图3-3和图3-4）.以矿体分布的重心或中心为圆心，圆心不动，以不同的半径r画圆，计算每次落入圆中矿体的个数，记为N（r）（表3-4）.在lgr—lgN（r）坐标中投点，用最小二乘法拟合直线，得直线方程为：

分形混沌与矿产预测

以D（0）=0.7841，C（0）=100.9348=8.6060为迭代初值，使用新 *** 求得分形统计模型（3.3.1′）式中最小二乘估计量（分维数），量，剩余平方和Q（0.7568，9.4039）=114.6947＜Q0（0.7841，8.6060）=125.3347.更大固有曲率ΓN=0.03418＜0.220=1/（2F1/2（2，6，0.05））（见附录A）.此时分形统计模型（3.3.1′）固有非线性强度很弱，可以忽略不计.因此分形统计模型（3.3.1′）可作为地表矿体预测的数学模型.即：

分形混沌与矿产预测

表3-4 地表矿体数据

（2）地表矿群

在1∶10000地形地质图上，模型区构造含矿杂岩带中的矿群14个.每个矿群可看成是以其中心为代表的一个点.圆心及半径的定义与地表矿体的相似，r的取值仍与地表矿体的相同.圆心不动，以不同的半径r画圆，计算每次落入圆内的矿群个数，记为N（r）（表3-5），在lgr—lgN（r）坐标中投点，用最小二乘法拟合直线，得直线方程为：

分形混沌与矿产预测

以D（0）=0.8982，C（0）=10-0.3130=0.4864为迭代初值，使用新 *** 求得分形统计模型（3.3.1′）式中最小二乘估计量（分维数），量，剩余平方和Q（0.9298，0.4384）=1.3014＜Q0（0.8982，0.4864）=1.38，更大固有曲率ΓN=0.04715＜0.2205=1/（2F1/2（2，6，0.05））（见附录A）.此时分形统计模型（3.3.1′）固有非线性强度很弱，可以忽略不计，因此分形统计模型（3.3.1′）可作为地表矿群预测的数学模型.即：

分形混沌与矿产预测

表3-5 地表矿群数据

图3-1 罗布莎地区构造略图

图3-2 罗布莎—章嘎构造剖面图

（3）矿床储量

在1∶10000地形地质图上，对模型区内构造含矿杂岩带里的C+D级铬铁矿石储量4211418t的分布资料进行研究.圆心及半径的定义与地表矿体的相似，圆心不动，计算在不同的r半径下落入球（实际为圆，因为将储量的分布投影到1∶10000地形地质图上）内的C+D级矿石储量，记为N（r）（表3-6），在lgr—lgN（r）坐标中投点，用最小二乘法拟合直线，得直线方程为：

分形混沌与矿产预测

以D（0）=0.7048，C（0）=105.5101=323668.176为迭代初值，使用新 *** 求得分形统计模型（3.3.1′）式中最小二乘估计量（分维数），剩余平方和Q（0.6654，367166.9）=0.3350161×1012＜Q0（0.7048，323668.176）=0.3551732×1012，更大固有曲率ΓN=0.06086＜0.2205=1/（2F1/2（2，6，0.05））.此时分形统计模型（3.3.1′）固有非线性强度很弱，可以忽略不计，因此分形统计模型（3.3.1′）可作为矿床储量预测的数学模型.

即：

分形混沌与矿产预测

表3-6 地表矿石储量数据

图3-3 见矿孔在水平投影面上的投影点图

5.预测结果及参数意义的解释

以矿群上更大的矿体为圆心，r=5，10，15，…，50，55cm（1∶10000地形地质图上），将r回代入上面（3.3.3），（3.3.4）和（3.3.5）式中，计算在r=55cm总的数量减去已知数量即为香嘎山矿段第四系下预测的资源量.结果为：“地表”矿体43个，“地表”矿群4个（取整），资源量（铬铁矿石）：1071815.342t.矿石质量：矿石以致密块状为主，少量为稠密浸染状矿石，w（Cr2O3）=52.7；铂族元素总量平均品位为0.497g/t，总资源量为532.692kg.预测结果与常规 *** 计算结果较一致（见图3-5，图3-6和图3-7）.

密度定义为：ρ=N（r）/（πr2）=（C/π）rD-2

当 D=2.0 时，密度ρ=C/π.表明密度均匀；

当 D＞2.0 时，密度ρ随着r的增大而增大；

当 D＜2.0 时，密度ρ随着r的增大而减少；

当 r=1.0 时，C=πρ=N（1）.

0.6654（矿床储量分维数）＜0.7568（地表矿体分维数）＜0.9298（地表矿群分维数）＜2表明：随着r的增大，矿床储量，地表矿体和地表矿群的密度逐步减少.

因此分维数D定量表达了矿体分布的密度变化趋势.C表示矿体分布的初始值，它们对矿产资源勘查、预测与评价具有重要的指导意义.

图3-4 矿体中心在E—W向垂直投影面上的投影点图

图3-5 矿体原始数据曲线拟合图

图3-6 地表矿群原始数据曲线拟合图

图3-7 矿床储量原始数据曲线拟合图

分形理论有什么用处

分形理论

分形理论(Fractal Theory)是当今十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家本华·曼德博（法语：Benoit B. Mandelbrot）首先提出的。分形理论的数学基础是分形几何学，即由分形几何衍生出分形信息、分形设计、分形艺术等应用。

分形理论的最基本特点是用分数维度的视角和数学 *** 描述和研究客观事物，也就是用分形分维的数学工具来描述研究客观事物。它跳出了一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维时空的传统藩篱，更加趋近复杂系统的真实属性与状态的描述，更加符合客观事物的多样性与复杂性。

中文名

分形理论

外文名

Fractal Theory

提出者

本华·曼德博

应用学科

分形信息、分形设计、分形艺术

适用领域范围

分形信息、分形设计、分形艺术

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原则分形模型分维作用意义

定义

1967年，Mandelbrot在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长？统计自相似和分数维度》（How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension）的著名论文。海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时，在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、粒子的布朗运动、树冠、花菜、大脑皮层……Mandelbrot把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1975年，他创立了分形几何学(Fractal Geometry)。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论。

原则

线性分形又称为自相似分形。自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性，即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发，也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同，也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构，如科赫曲线（Koch snowflake）、谢尔宾斯基地毯（Sierpinski carpet）等。这种有规分形只是少数，绝大部分分形是统计意义上的无规分形。

这里再进一步介绍分形的分类，根据自相似性的程度，分形可以分为有规分形和无规分形，有规分形是指具体有严格的自相似性，即可以通过简单的数学模型来描述其相似性的分形，比如三分康托集、Koch曲线等；无规分形是指具有统计学意义上的自相似性的分形，比如曲折连绵的海岸线，漂浮的云朵等。

分形模型

cantor（康托）三分集

1883年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集，或称康托尔集。三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程构造出来的(如右图)。其详细构造过程是：之一步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断的分割下去， 最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。 三分康托集的豪斯多夫维是0.6309。

三分康托集的构造过程

Koch 曲线

1904年，瑞典数学家柯赫构造了 “Koch曲线”几何图形。Koch曲线大于一维，具有无限的长度，但是又小于二维。它和三分康托集一样，是一个典型的分形。根据分形的次数不同，生成的Koch 曲线也有很多种，比如三次 Koch 曲线，四次 Koch 曲线等。下面以三次 Koch 曲线为例，介绍 Koch 曲线的构造 *** ，其它的可依此类推。三次Koch曲线的构造过程主要分为三大步骤：之一步，给定一个初始图形——一条线段；第二步，将这条线段中间的 1/3 处向外折起；第三步，按照第二步的 *** 不断的把各段线段中间的 1/3 处向外折起。这样无限的进行下去，最终即可构造出Koch曲线。其图例构造过程如右图所示(迭代了 5 次的图形)。

Koch 曲线的生成过程

Julia 集

Julia 集是由法国数学家 Gaston Julia 和 Pierre Faton 在发展了复变函数迭代的基础理论后获得的。Julia 集也是一个典型的分形，只是在表达上相当复杂，难以用古典的数学 *** 描述。朱利亚 *** 由一个复变函数

生成，其中c为常数。

Julia 集

尽管这个复变函数看起来很简单，然而它却能够生成很复杂的分形图形。

右图为朱利亚 *** 生成的图形，由于c可以是任意值，所以当c取不同的值时，制出的图形也不相同。

分维作用

分维，又称分形维或分数维，作为分形的定量表征和基本参数，是分形理论的又一重要原则。长期以来人们习惯于将点定义为零维，直线为一维，平面为二维，空间为三维，爱因斯坦在相对论中引入时间维，就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑，可建立高维空间，但都是整数维。在数学上，把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲，维数也不变，这就是拓扑维数。然而，这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数：从很远的距离观察这个绳球，可看作一点(零维)；从较近的距离观察，它充满了一个球形空间(三维)；再近一些，就看到了绳子(一维)；再向微观深入，绳子又变成了三维的柱，三维的柱又可分解成一维的纤维。那么，介于这些观察点之间的中间状态又如何呢？

显然，并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。数学家豪斯道夫(Hausdorff)在1919年提出了连续空间的概念，也就是空间维数是可以连续变化的，它可以是自然数，也可以是正有理数或正无理数，称为豪斯道夫维数。记作Df，一般的表达式为：K=L^Df，也作K=(1/L)^(-Df)，取自然对数并整理得Df=lnK/lnL，其中L为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数，K为得到的新客体是原客体的倍数。Df在一般情况下不一定是自然数。因此，曼德布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的 *** 。英国的海岸线为什么测不准？因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德布罗特的计算，英国海岸线的维数为1.26。有了分维，海岸线的长度就确定了。

意义

上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。分形作为一种新的概念和 *** ，正在许多领域开展应用探索。美国物理学大师约翰·惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。由此可见分形的重要性。 中国著名学者周海中教授认为：分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式；可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。 分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学 *** 论意义。

注：分形理论好比拿着显微镜看一公里有多长只适用于科学研究，对于学习和现实生活中的长度，我们所采用的依然是理想情况下的约定俗成。

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